方程题：关于x的方程sin2x·sin4x-sinx·sin3x=a在x∈[0,Π﹚有唯一解,求实数a的值

Question

方程题：关于x的方程sin2x·sin4x-sinx·sin3x=a在x∈[0,Π﹚有唯一解,求实数a的值

Answer 1

a=sin2x*sin4x-sinx*sin3x
=sin2x*(2sin2x*cos2x)-(cos2x-cos4x)/2
=2(1-cos^2 2x)cos2x-(cos2x-(2cos^2 2x-1))/2
=-2cos^3 2x+cos^2 2x+3cos2x/2-1/2
=(cos2x-1)(-2cos^2 2x-cos2x+1/2)
=-4(cos^2 x-1)(2cos^2 x-(3+√5)/4)(2cos^2 x+(√5-3)/4)
令：b=cosx,于是x:0→π时,b:1→-1.
则：
a=-4(b+1)(b-1)(2b^2+(√5-3)/4)(2b^2-(3+√5)/4) ————(1)
易得：a是b关于b=0的对称函数,即：a(b)=a(-b).
由根与图像的关系可知:a在b=0处取到最大值：a(0)=1.
由于x在［0,π)上有唯一解,且x与b是一一对应的,因此方程(1)关于未知数b在（-1,1]上有唯一解.
因此：对于任意在值域范围内的a0,且a0≄1,均有b≄0,使得a(b)=a(-b)=a0,即：方程（1）的解不唯一.
于是：当a=1时,方程（1）有唯一解b=0,即cosx=0,原方程有唯一解x=π/2