如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有条，这些直线中共有f（n）对异面直线，则f（4）=；f（n）=．（答案用数字或n的解析式表示）

Question

如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有______条，这些直线中共有f（n）对异面直线，则f（4）=______；f（n）=______．（答案用数字或n的解析式表示）

Answer 1

凸多面体是n棱锥，共有n+1个顶点，
所以可以分为两类：侧棱共有n条，
底面上的直线（包括底面的边和对角线）(n(n−1))/(2)条
两类合起来共有(n(n+1))/(2)条．
在这些直线中，每条侧棱与底面上不过此侧棱的端点直线异面，
底面上共有直线（包括底面的边和对角线）(n(n−1))/(2)条，其中不过某个顶点的有((n−2)•(n−1))/(2)=(n2−3n+2)/(2)条
所以，f（n）=(n(n2−3n+2))/(2)，f（4）=12．
故答案为：(n(n+1))/(2)，12，(n(n2−3n+2))/(2)．