对于集合N={1,2,3,…,n}及其它的每一个非空子集,定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集,然后从最大数开始交替地减、加后继的数.例如集合{1,2,4,6,9}的交替和是9–6＋4–2＋1

Question

对于集合N={1,2,3,…,n}及其它的每一个非空子集,定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集,然后从最大数开始交替地减、加后继的数.例如集合{1,2,4,6,9}的交替和是9–6＋4–2＋1＝6,集合{5}的交替和为5.当集合N中的n=2时,集合N={1,2}的所有非空子集为{1},{2},{1,2},则它的“交替和”的总和S2=1+2+(2–1)=4,则当时n=3,S3=_____；根据S1、S2、S3,猜想集合N={1,2,3,……n}的每一个非空子集的“交替和”的总和Sn=__________.
S2=4,S3=12,S4=32
Sn=n*2^(n-1)
能给出证明吗

Answer 1

n=1时,显然成立
设Sn=n*2^(n-1)时成立
当取n+1时,所有集合包括三种
1、n时的所有集合,Sn1=Sn
2、n时的所有集合每一个里面增加一个（n+1）,一共2^n-1个,Sn2=（2^n-1）*（n+1）-Sn
3、集合{n+1},Sn3=n+1
Sn+1=Sn1+Sn2+Sn3
=Sn+2^（n-1）*（n+1）-Sn+n+1
=（2^n-1）*（n+1）+n+1
=2^n（n+1）
得证