在如图所示的多面体ABCDE中，AB∥DE，AB⊥AD，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB=2，BC=5，F是CD的中点．（Ⅰ）求证AF∥平面BCE；（Ⅱ）求多面体ABCDE的体积．

Question

在如图所示的多面体ABCDE中，AB∥DE，AB⊥AD，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB=2，BC=√(5)，F是CD的中点．

（Ⅰ）求证AF∥平面BCE；
（Ⅱ）求多面体ABCDE的体积．

Answer 1

（Ⅰ）证明：取CE中点P，连接FP、BP，
∵F为CD的中点，
∴FP∥DE，且FP=(1)/(2)DE．
又AB∥DE，且AB=(1)/(2)DE．
∴AB∥FP，且AB=FP，
∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP．
又∵AF⊄平面BCE，BP⊂平面BCE，
∴AF∥平面BCE；
（II） ∵直角梯形ABED的面积为(1+2)/(2)×2=3，C到平面ABDE的距离为(√(3))/(2)×2=√(3)，
∴四棱锥C-ABDE的体积为V=(1)/(3)×3×√(3)=√(3)．
即多面体ABCDE的体积为√(3)．