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已知数列{an}的前n项的平均数为2n+1 (1)求证:数列{an}是等差数列 (2)设an=(2n+1)Cn,比较Cn+1与Cn的大小,说明理由(3)设函数f(x)=-x^2+4x-Cn,是否存在最大的实数λ,当x小于等于λ,对于一
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已知数列{an}的前n项的平均数为2n+1
(1)求证:数列{an}是等差数列
(2)设an=(2n+1)Cn,比较Cn+1与Cn的大小,说明理由
(3)设函数f(x)=-x^2+4x-Cn,是否存在最大的实数λ,当x小于等于λ,对于一切非零自然数n,都有f(x)小于等于0?
(1)求证:数列{an}是等差数列
(2)设an=(2n+1)Cn,比较Cn+1与Cn的大小,说明理由
(3)设函数f(x)=-x^2+4x-Cn,是否存在最大的实数λ,当x小于等于λ,对于一切非零自然数n,都有f(x)小于等于0?
▼优质解答
答案和解析
1、证:Sn=n*(2n+1)
an=Sn-S(n-1)=n(2n+1)-(n-1)(2n-1)
=4n-1
=3+(n-1)*4
所以{an}以首项为3,公差为4的等差数列
2、Cn=an/(2n+1)=(4n-1)/(2n+1)
C(n+1)=(4n+3)/(2n+3)
C(n+1)-Cn=(4n+3)/(2n+3)-(4n-1)/(2n+1)
=[(8n^2+10n+3)-(8n^2+10n-3)]/[(2n+3)(2n+1)]
=6/[(2n+3)(2n+1)]>0
所以C(n+1)>Cn
3、f(x)=-x^2+4x-Cn=-(x-2)^2+4-Cn
=-(x-2)^2+(4n+5)/(2n+1)
因为(4n+5)/(2n+1)的极限值是2
要使对于一切非零自然数n,都有f(x)≤0恒成立,则
x-2≥√2 或x-2≤-√2
即x≥√2+2 或x≤-√2+2
又因为已知条件中当x小于等于λ,则最大的实数λ=-√2+2
an=Sn-S(n-1)=n(2n+1)-(n-1)(2n-1)
=4n-1
=3+(n-1)*4
所以{an}以首项为3,公差为4的等差数列
2、Cn=an/(2n+1)=(4n-1)/(2n+1)
C(n+1)=(4n+3)/(2n+3)
C(n+1)-Cn=(4n+3)/(2n+3)-(4n-1)/(2n+1)
=[(8n^2+10n+3)-(8n^2+10n-3)]/[(2n+3)(2n+1)]
=6/[(2n+3)(2n+1)]>0
所以C(n+1)>Cn
3、f(x)=-x^2+4x-Cn=-(x-2)^2+4-Cn
=-(x-2)^2+(4n+5)/(2n+1)
因为(4n+5)/(2n+1)的极限值是2
要使对于一切非零自然数n,都有f(x)≤0恒成立,则
x-2≥√2 或x-2≤-√2
即x≥√2+2 或x≤-√2+2
又因为已知条件中当x小于等于λ,则最大的实数λ=-√2+2
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