已知多面体ABC-DEFG中（如图），AB、AC、AD两两互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1，则这个多面体的体积为（）A．2B．4C．6D．8

Question

已知多面体ABC-DEFG中（如图），AB、AC、AD两两互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1，则这个多面体的体积为（　　）

A．2
B．4
C．6
D．8

Answer 1

取DG中点M，连接CM，AM，FM，则这个多面体的体积可以表示为棱柱BEF-ADM与三棱锥C-FMG以及四棱锥C-ABFM的和
由于多面体ABC-DEFG中（如图），AB、AC、AD两两互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1
故棱柱BEF-ADM可看作是底面是直角三角形的三棱锥，其高2，底面是两直角边分别是1，2的三角形其体积是2×(1)/(2)×2×1=2
三棱锥C-FMG以CM为高，其长为2，底面是MF=2，MG=1为直角边的直角三角形，其体积为(1)/(3)×2×(1)/(2)×2×1=(2)/(3)
由图形知，C到AM的距离就是四棱锥C-ABFM的高，由于AM=√(5)，由等面积法可求得C到AM的距离是(2√(5))/(5)，底面四边形是以AM=√(5)与AB=2为边长的矩形，故其体积为(1)/(3)×(2√(5))/(5)×2×√(5)=(4)/(3)
这个多面体的体积为(4)/(3)+(2)/(3)+2=4
故选B．