如图是一个半圆柱与多面体ABB1A1C构成的几何体，平面ABC与半圆柱的下底面共面，且AC⊥BC，P为A1B1上的动点．（1）证明：PA1⊥平面PBB1；（2）设半圆柱和多面体ABB1A1C的体积分别为V1，V2，若V1

Question

如图是一个半圆柱与多面体ABB₁A₁C构成的几何体，平面ABC与半圆柱的下底面共面，且AC⊥BC，P为

A1B1

上的动点．

（1）证明：PA₁⊥平面PBB₁；
（2）设半圆柱和多面体ABB₁A₁C的体积分别为V₁，V₂，若V₁：V₂=3π：4，证明：AC=BC．

Answer 1

证明：（1）由题意，A₁P⊥B₁P，A₁P⊥B₁B，B₁P∩B₁B=B₁，
∴PA₁⊥平面PBB₁；
（2）设AB=2a，AA₁=h，C到AB的距离为h′，则V₁=(1)/(2)πa2h，V₂=(1)/(3)×2ah×h′，
∵V₁：V₂=3π：4，
∴h′=a，
∵AB=2a，AC⊥BC，
∴AC=BC．