如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA=AB=AD=a，PB＝PD＝2a，点E为PB的中点，点F为PC的中点．（Ⅰ）求证：PD∥面EAC；（Ⅱ）求证：面PBD⊥面PAC；（Ⅲ）在线段BD上是否存在一点H满足

Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA=AB=AD=a，PB＝PD＝√(2)a，点E为PB的中点，点F为PC的中点．
（Ⅰ）求证：PD∥面EAC；
（Ⅱ）求证：面PBD⊥面PAC；
（Ⅲ）在线段BD上是否存在一点H满足FH∥面EAC？若存在，请指出点H的具体位置，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ） 设AC，BD相交于O，连接OE，
∵O分别为PB，PD的中点，
∴PD∥OE∴PD∥面EAC…（4分）
（Ⅱ）∵PA＝AB＝a，PB＝√(2)a∴PA⊥AB，同理PA⊥AD
∴PA⊥面ABCD…（6分）
∴PA⊥BD，
∵ABCD为菱形
∴BD⊥AC
∴BD⊥面PAC
∴面PBD⊥面PAC…（8分）
（Ⅲ）取OD的中点H
∴(BG)/(GF)＝(BO)/(OH)＝2∴OG∥FH
∴FH∥面EAC
∴在线段BD上存在一点H满足FH∥面EAC，H为OD的中点．…（12分）