设函数y=f（x）满足：对任意的实数x∈R，有f（sinx）=-cos2x+cos2x+2sinx-3．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若方程f(x)=2a|x-12|有解，求实数a的取值范围．

Question

设函数y=f（x）满足：对任意的实数x∈R，有f（sinx）=-cos2x+cos ² x+2sinx-3．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若方程 f(x)=2a|x-(1)/(2) | 有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）f（sinx）=2sin ² x-1+1-sin ² x+2sinx-3=sin ² x+2sinx-3，
所以f（x）=x ² +2x-3（-1≤x≤1）．
（Ⅱ）①当 x=(1)/(2) 时， f((1)/(2) )≠0 ，不成立．
②当 -1≤x＜(1)/(2) 时， x-(1)/(2) ＜0 ，
令 t=(1)/(2) -x ，则 x=(1)/(2) -t ， 0＜t≤(3)/(2) ， 2a=(((1)/(2)-t)2 +2((1)/(2)-t)-3)/(t) =t-(7)/(4t) -3 ，
因为函数 h(t)=t-(7)/(4t) -3 在 (0，(3)/(2) ] 上单增，所以 2a≤h((3)/(2) )=-(8)/(3) ⇒a≤-(4)/(3) ．
③当 (1)/(2) ＜x≤1 时， x-(1)/(2) ＞0 ，
令 t=x-(1)/(2) ，则 x=(1)/(2) +t ， 0＜t≤(1)/(2) ， 2a=(((1)/(2)+t)2 +2((1)/(2)+t)-3)/(t) =t-(7)/(4t) +3 ，
因为函数g（t）=t- (7)/(4t) +3在 (0，(1)/(2) ] 上单增，所以2a≤g（ (1)/(2) ）=0⇒a≤0．
综上，实数a的取值范围是（-∞，0]．