正四棱锥体积一定时,什么时候表面积最小

Question

正四棱锥体积一定时,什么时候表面积最小

Answer 1

设底面边长为2a,侧面斜高为h.条件是[﹙2a﹚²√﹙h²-a²﹚]/3＝V﹙常数﹚,
即﹙a^4﹚h²-a^6＝常数,求S＝4a²+4ah 的条件极值.
令F＝a²+ah+λ[﹙a^4﹚h²-a^6-c]
F'a＝2a+h+4a³h²λ-6﹙a^5﹚λ＝0
F'h＝a+2﹙a^4﹚yλ＝0 λ＝-1/﹙2a³h﹚代入上式
化简得到h²-2ah-3a²＝0 ﹙h+a﹚﹙h-3a﹚＝0 h＝3a
∴,侧面斜高＝底面边长的1.5倍时.表面积最小.
[初等方法没有找到,抱歉!]