已知正四棱锥P-ABCD的底面边长及侧棱长均为13，M、N分别是PA、BD上的点，且PM：MA=BN：ND=5：8．（1）求证：直线MN∥平面PBC；（2）求正四棱锥P-ABCD的表面积和体积．

Question

已知正四棱锥P-ABCD的底面边长及侧棱长均为13，M、N分别是PA、BD上的点，且PM：MA=BN：ND=5：8．

（1）求证：直线MN∥平面PBC；
（2）求正四棱锥P-ABCD的表面积和体积．

Answer 1

（1）证明：∵P-ABCD是正四棱锥，∴ABCD是正方形，
连结AN并延长交BC于点E，连结PE，
∵AD∥BC，∴EN：AN=BN：ND，
又∵BN：ND=PM：MA，∴EN：AN=PM：MA，
∴MN∥PE，
又∵PE在平面PBC内，MN在平面PBC外，
∴MN∥平面PBC．
（2） 设点P在底面ABCD上的射影为O，连结PO，
∵正四棱锥P-ABCD的底面边长及侧棱长均为13，
∴PA=AB=PB=13，OB=(1)/(2)√(132+132)=(13√(2))/(2)，
由正棱锥的性质知PO=√(PB2-OB2)=(13√(2))/(2)，
∴正四棱锥P-ABCD的表面积：
S=4S_△PAB+S_{正方形ABCD}
=4×((1)/(2)×13×13×sin60°)+13×13
=169√(3)+169．
正四棱锥P-ABCD的体积：
V=(1)/(3)×S正方形ABCD×PO
=(1)/(3)×13×13×(13√(2))/(2)
=(2197√(2))/(6)．