若一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥．已知一个正六棱锥的各个顶点都在半径为3的球面上，则该正六棱锥的体积的最大值为163163．

Question

若一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥．已知一个正六棱锥的各个顶点都在半径为3的球面上，则该正六棱锥的体积的最大值为

16√(3)

16√(3)

．

Answer 1

设球心到底面的距离为x，则底面边长为√(9−x2)，高为x+3，则
V=(1)/(3)•(√(3))/(4)（9-x²）•6（x+3）=(√(3))/(2)（-x³-3x²+9x+27），其中0＜x＜3，
V′=0，可得x²+2x-3=0，解得x=1或x=-3（舍去）
∴V_max=V（1）=(√(3))/(2)（-1-3+9+27）=16√(3)．
故答案为：16√(3)．