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RT三角形ABC中角ACB=90度,D为ab的中点,E在ac上,f在bc上,且ae平方+bf平方=cf平方+Ce平方,试说明DE垂直DF
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RT三角形ABC中角ACB=90度,D为ab的中点,E在ac上,f在bc上,且ae平方+bf平方=cf平方+Ce平方,试说明DE垂直DF
▼优质解答
答案和解析
证明:在FD的延长线上取点G,使FD=GD,连接AG、EG
∵∠ACB=90
∴∠CAB+∠B=90,CE²+CF²=EF²
∵D为AB的中点
∴AD=BD
∵FD=GD,∠ADG=∠BDF
∴△ADG≌△BDF (SAS)
∴AG=BF,∠GAD=∠B
∴∠CAG=∠CAB+∠GAD=∠CAB+∠B=90
∴AE²+AG²=EG²
∴AE²+BF²=EG²
∵AE²+BF²=CE²+CF²
∴EF²=EG²
∴EF=EG
又∵FD=FG
∴DE⊥DF (三线合一)
∵∠ACB=90
∴∠CAB+∠B=90,CE²+CF²=EF²
∵D为AB的中点
∴AD=BD
∵FD=GD,∠ADG=∠BDF
∴△ADG≌△BDF (SAS)
∴AG=BF,∠GAD=∠B
∴∠CAG=∠CAB+∠GAD=∠CAB+∠B=90
∴AE²+AG²=EG²
∴AE²+BF²=EG²
∵AE²+BF²=CE²+CF²
∴EF²=EG²
∴EF=EG
又∵FD=FG
∴DE⊥DF (三线合一)
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