一单摆OA的上端与OM绳的上端系于同一点O,OM绳上穿着一只小球B.单摆球由图示位置开始摆动（偏角小于5）,同时B球从O点由静止开始下滑,恰好某点相碰,在整个过程中,空气阻力不计,取π^2≈10,试

Question

一单摆OA的上端与OM绳的上端系于同一点O,OM绳上穿着一只小球B.单摆球由图示位置开始摆动（偏角小于5）,同时B球从O点由静止开始下滑,恰好某点相碰,在整个过程中,空气阻力不计,取π^2≈10,
试求：1,若两球在最短时间相碰,则B球所受绳的摩擦阻力与它的重力之比；
2两球相碰前的瞬间,A,B球的速度大小之比.

Answer 1

设摆长L,B球所受绳的摩擦阻力为f.
1.
由两球在最短的时间相碰,得单摆时间为1/4周期
B球从O点由静止开始下滑到相碰时,其距离公式：L=1/2(at^2),其受力公式：ma=mg-f
由此求出B球的下滑时间：
t=√[2mL/(mg-f)]
单摆OA运动的周期公式：T=2π√(L/g),开始摆动到与B球相碰时的时间：
t=(1/4)2π√(L/g)=π/2(√(L/g)
上述两个时间t相等,即：
√[2mL/(mg-f)]=π/2(√(L/g)
把π^2≈10,g≈10代入,得：1/4*2π*根号L/g=根号（2L/( (mg-f)/m ) ）
f=2m
则：(B球所受绳的摩擦阻力)/(它的重力之比)=2m/G=2m/(mg)=2/g=1/5
2.
再根据动能定理
(mg-f)L=1/2m(VB)^2
mgL(1-cosθ)=1/2m(VA)^2
两式相比便得：
(VA/VB)^2=5(1-cosθ)/4
所以,两球相碰的瞬间A,B球的速度大小之比为：√[5(1-cosθ)]/2