如图,已知BP,CP分别是△ABC的外角∠CBD,∠BCE的平分线.求证：（1）点P在∠BAC的平分线上.2）求证∠BAC=90°-二分之一∠BAC.

Question

如图,已知BP,CP分别是△ABC的外角∠CBD,∠BCE的平分线.求证：（1）点P在∠BAC的平分线上.
2）求证∠BAC=90°-二分之一∠BAC.

Answer 1

1）∵BP平分∠CBD,
∴点P到BC、BD的距离相等（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）
同理,∵CP平分∠BCE,
∴点P到CB、CE的距离相等,
∴点P到BD和CE（即AB、AC）的距离相等,
∴点P在∠BAC的平分线上（到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）
2）∵∠ABC=180°-∠CBD,∠ACB=180°-∠BCD,
∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=∠DBC+∠BCE-180°
∴∠DBC+∠BCE=180°+∠A
∵∠BPC=180°-∠PCB-∠PBC
=180°-1/2(∠DBC+∠BCE)
=180°-1/2(180°+∠A)
=90°-1/2∠A