BD,CE是三角形ABC的高,P在BD的延长线上,BP=AC,Q在CE上,CQ=AB,求证：AP=AQ,AP垂直于AQ

Question

BD,CE是三角形ABC的高,P在BD的延长线上,BP=AC,Q在CE上,CQ=AB,求证：AP=AQ,AP垂直于AQ

Answer 1

1、AP=AQ部分
从题目条件看,已经有BP=AC,CQ=AB,另外要求证的是AP=AQ,可见,如果题目正确的话,△APB就全等于△QAC,因此解题的思路之一,就是如何来证明这两个三角形全等.
对△APB和△QAC,现在我们已经有两边相等了,那么一个自然的想法就是看两边夹的角是不是相等.
由于BP垂直AC,CQ垂直AB,那么∠PBA+∠BAC＝90度＝∠QCA+∠CAB；
所以∠PBA＝∠QCA
这样AP＝AQ得证.
2、AP垂直AQ部分
从△APB和△QAC全等,可知∠PAB＝∠AQC,所以,
∠PAQ＝∠PAE+∠EAQ＝∠AQE＋∠EAQ＝∠AEC
又因为CE垂直AB,所以∠PAQ＝90度,题目得证
解证明题,不少情况下可以将答案作为条件来进行逆推,得到答题的线索