一个圆锥底面半径为R,高为根号3R,求此圆锥的内接正四棱柱的表面积的最大值?

Question

一个圆锥底面半径为R,高为根号3R,求此圆锥的内接正四棱柱的表面积的最大值?

Answer 1

沿着竖直面的截面是一个三角形,这个三角形是一个等腰三角形,底边是2R,高是根号3R,(这里我的理解是R在根号外面),所以这是一个等边三角形.
设这个正四棱柱的高为h,正四棱柱的定义是底面为正方形的直四棱柱,沿着这个四棱柱的底面的对角线的竖直面的截面,得到的图形一定是一个等边三角形加上一个内接矩形,这个矩形的高为h,底边=(R-h/根号3)*2,由于这个矩形的底边是正四棱柱底面的对角线,由于底面是正方形,所以底面的边长=(R-h/根号3)*2/根号2=(R-h/根号3)*根号2,所以这个正四棱柱的表面积=2*[(R-h/根号3)*根号2]^2+4*(R-h/根号3)*根号2*h,将该关于h的二次函数配成平方式,然后根据h的取值范围为(0,h)判断函数的最大值


设圆锥的高SO交A1C1于O1.
∵OE=R,SO=√3R
∴∠ESO＝30°
∴SO1＝√3O1A1
设正四棱柱的底面边长为a,高为h.
则A1C1＝√2a,OO1＝h
∵O1A1＝1/2A1C1＝a√2/2
∴SO1＝a√6/2
∴h=√3R－a√6/2
∴正棱柱表面积S＝2a^2+4ah=2a^2+4a(√3R－a√6/2)=(2-2√6)a^2+4√3aR
∵2-2√6