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如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC是等边三角形,D为AB中点.(I)求证:BC1∥平面A1CD;(II)若四边形BCC1B1是矩形,且CD⊥DA1,求证:三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱.
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如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC是等边三角形,D为AB中点.
(I)求证:BC1∥平面A1CD;
(II)若四边形BCC1B1是矩形,且CD⊥DA1,求证:三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱.
(I)求证:BC1∥平面A1CD;
(II)若四边形BCC1B1是矩形,且CD⊥DA1,求证:三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)连AC1,设AC1与A1C相交于点O,连DO,则O为AC1中点,
∵D为AB的中点,
∴DO∥BC1
∵BC1⊄平面A1CD,DO⊂平面A1CD,
∴BC1∥平面A1CD;
(Ⅱ)∵等边△ABC,D为AB的中点,
∴CD⊥AB
∵CD⊥DA1,DA1∩AB=D,
∴CD⊥平面ABB1A1
∵BB1⊂平面ABB1A1
∴BB1⊥CD,
∵矩形BCC1B1
∴BB1⊥BC
∵BC∩CD=C∴BB1⊥平面ABC
∵底面△ABC是等边三角形,
∴三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱.
∵D为AB的中点,
∴DO∥BC1
∵BC1⊄平面A1CD,DO⊂平面A1CD,
∴BC1∥平面A1CD;
(Ⅱ)∵等边△ABC,D为AB的中点,
∴CD⊥AB
∵CD⊥DA1,DA1∩AB=D,
∴CD⊥平面ABB1A1
∵BB1⊂平面ABB1A1
∴BB1⊥CD,
∵矩形BCC1B1
∴BB1⊥BC
∵BC∩CD=C∴BB1⊥平面ABC
∵底面△ABC是等边三角形,
∴三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱.
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