如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1，且E是BC中点．（Ⅰ）求证：AC⊥A1B；（Ⅱ）求证：B1C⊥平面AEC1．

Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁，且E是BC中点．

（Ⅰ）求证：AC⊥A₁B；
（Ⅱ）求证：B₁C⊥平面AEC₁．

Answer 1

证明：（Ⅰ）∵∠BAC=90°，
∴AC⊥AB，
∵AC⊥AA₁，AB∩AA₁=A，
∴AC⊥平面ABB₁A₁，
∴AC⊥A₁B
（Ⅱ）∵AB=AC，E是BC的中点，∴AE⊥BC
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ABC⊥平面BB₁C₁C，
∴AE⊥平面BB₁C₁C，B₁C⊂平面BB₁C₁C，
∴B₁C⊥AE
在矩形BCC₁B₁中，tan∠CB₁C₁=tan∠EC₁C=(√(2))/(2)，
∵∠CB₁C₁+∠B₁CC₁=(π)/(2)
∴∠B₁CC₁+∠EC₁C═(π)/(2)，
∴B₁C⊥EC₁，
又AE∩EC₁=E，
∴B₁C⊥平面AEC₁．