如图，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．（Ⅰ）求异面直线AD1与BD所成的角的余弦值；（Ⅱ）求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．

Question

如图，在直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA₁=3．
（Ⅰ）求异面直线AD₁与BD所成的角的余弦值；
（Ⅱ）求直线B₁C₁与平面ACD₁所成角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）由题意，AB，AD，AA₁两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
设AB=t，则相关各点的坐标为：A（0，0，0），B（t，0，0），B₁（t，0，3），C（t，1，0），C₁（t，1，3），D（0，3，0），D₁（0，3，3）．
从而

B1D

=（-t，3，-3），

AC

=（t，1，0），

BD

=（-t，3，0）．
因为AC⊥BD，所以

AC

•

BD

=-t²+3+0=0．
解得t=√(3)或t=-√(3)（舍去）．
所以

BD

=(−

作业帮用户 2016-12-08

问题解析

（Ⅰ）建立空间直角坐标系，先求出AB，可得

BD

=(−√(3)，3，0)，而

AD1

＝(0，3，3)，利用向量的夹角公式，即可求异面直线AD₁与BD所成的角的余弦值；
（Ⅱ）求出平面ACD₁的一个法向量，利用向量的夹角公式，求直线B₁C₁与平面ACD₁所成角的正弦值．

名师点评

本题考点：

直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．

考点点评：

本题给出直四棱柱，求异面直线、直线与平面所成角的正弦之值，着重考查了直四棱柱的性质、空间向量等知识，属于中档题．

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