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(2009•朝阳区一模)如图,在直三棱柱ABC-A′B′C′中,已知AA′=4,AC=BC=2,∠ACB=90°,D是AB的中点.(Ⅰ)求证:CD⊥AB′;(Ⅱ)求二面角A′-AB′-C的大小;(Ⅲ)求直线B′D与平面AB′C所
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(2009•朝阳区一模)如图,在直三棱柱ABC-A′B′C′中,已知AA′=4,AC=BC=2,∠ACB=90°,D是AB的中点.
(Ⅰ)求证:CD⊥AB′;
(Ⅱ)求二面角A′-AB′-C的大小;
(Ⅲ)求直线B′D与平面AB′C所成角的正弦值.
(Ⅰ)求证:CD⊥AB′;
(Ⅱ)求二面角A′-AB′-C的大小;
(Ⅲ)求直线B′D与平面AB′C所成角的正弦值.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)证明:因为AC=BC,D是AB的中点,所以CD⊥AB.
由已知,三棱柱ABC-A′B′C′是直三棱柱,
所以平面ABC⊥平面ABB′A′.
所以CD⊥平面ABB′A′.
又因为AB′⊂平面ABB′A′,
所以CD⊥AB′.(5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知CD⊥平面ABB′A′.
过D作DE⊥AB′,垂足为E,连接CE.
由三垂线定理可知CE⊥AB′,
所以∠CED是二面角B-AB′-C的平面角.
由已知可求得CD=
,DE=
,
所以tan∠CED=
=
.
所以二面角B-AB′-C的大小为arctan
.
由于二面角A′-AB′-C与二面角B-AB'-C的大小互补,
所以二面角A′-AB′-C的大小为π−arctan
.(10分)
(Ⅲ)过D作DF⊥CE,垂足为F,连接B′F.
由(Ⅱ)可证得AB′⊥平面CDE,所以AB′⊥DF,可证得DF⊥平面AB'C.
所以,∠DB′F为直线B'D与平面AB'C所成的角.
在直角三角形CDE中,可知CE=
,所以DF=
=
.
在直角三角形BB′D中,可知B′D=3
.
在直角三角形DB′F中,sin∠DB′F=
=
.
所以直线B'D与平面AB'C所成角的正弦值为
.(14分)
由已知,三棱柱ABC-A′B′C′是直三棱柱,
所以平面ABC⊥平面ABB′A′.
所以CD⊥平面ABB′A′.
又因为AB′⊂平面ABB′A′,
所以CD⊥AB′.(5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知CD⊥平面ABB′A′.
过D作DE⊥AB′,垂足为E,连接CE.
由三垂线定理可知CE⊥AB′,
所以∠CED是二面角B-AB′-C的平面角.
由已知可求得CD=
2 |
2 | ||
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所以tan∠CED=
CD |
DE |
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所以二面角B-AB′-C的大小为arctan
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2 |
由于二面角A′-AB′-C与二面角B-AB'-C的大小互补,
所以二面角A′-AB′-C的大小为π−arctan
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2 |
(Ⅲ)过D作DF⊥CE,垂足为F,连接B′F.
由(Ⅱ)可证得AB′⊥平面CDE,所以AB′⊥DF,可证得DF⊥平面AB'C.
所以,∠DB′F为直线B'D与平面AB'C所成的角.
在直角三角形CDE中,可知CE=
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3 |
CD•DE |
CE |
2
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5 |
在直角三角形BB′D中,可知B′D=3
2 |
在直角三角形DB′F中,sin∠DB′F=
DF |
DB′ |
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所以直线B'D与平面AB'C所成角的正弦值为
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