如图，三棱柱ABC－ABC的侧面AACC与底面ABC垂直，AB=BC=CA=4，且AA⊥AC，AA=AC.（Ⅰ）证明：AC⊥BA；（Ⅱ）求侧面AABB与底面ABC所成二面角的余弦值.

Question

如图，三棱柱ABC－A B C 的侧面A ACC 与底面ABC垂直，AB=BC=CA=4，且AA ⊥A C，AA =A C.

（Ⅰ）证明：AC⊥BA ；
（Ⅱ）求侧面A ABB 与底面ABC所成二面角的余弦值.

Answer 1

(1)要证明线线垂直，通过线面垂直的性质定理来证明。
(2) 侧面A ABB 与底面ABC所成的二面角为arccos

试题分析：（Ⅰ）证明：取AC的中点O，连结OA ，OB，BA ，则
，             2分
.                    4分
∴AC⊥面BOA .                          5分
∵BA 面BOA ，∴AC⊥BA .              6分
（Ⅱ）解法一：∵面A ACC ⊥面ABC，A O⊥AC，
∴A O⊥面ABC.                          7分
过点O作OH⊥AB于H，连结A H，则A H⊥AB，
∴∠A HO为所求二面角的平面角.                  9分
在等边△ABC中，OH= ，A H= .   ∴cos∠A HO= = .       11分
∴侧面A ABB 与底面ABC所成的二面角为arccos .                   12分
解法二：以O为坐标原点，OB，OC，OA 所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，                                              7分

则A（0，－2，0），B（2 ，0，0），C（0，2，0），A （0，0，2），
C

作业帮用户 2017-11-03

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