（本题满分12分）如图，四棱锥的底面是矩形，，且侧面是正三角形，平面平面，（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为45°.若存在，试求

Question

（本题满分12分）如图，四棱锥 的底面 是矩形， ，且侧面 是正三角形，平面 平面 ，

（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）在棱 上是否存在一点 ，使得二面角 的大小为45°.若存在，试求 的值，若不存在，请说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）证明见解析；
（Ⅱ）在棱0 上存在点1 ，当 时，使得二面角2 的大小等于45°

本试题主要是考查了线线垂直的证明，以及二面角的求解的综合运用。
（1）根据已知条件可得，线面垂直判定定理可以得到线线垂直的证明。
（2）需要合理建立空间直角坐标系，然后设出两个半平面的法向量，然后借助于向量的数量积公式，表示得到向量的夹角，然后利用相等或者互补得到结论。
取 中点 ，则由 ，得 ，又平面 平面 ，且平面 平面 ，所以 平面 .以 为原点，建立空间直角坐标系 （如图）.

则
……………………2分
（Ⅰ）证明：∵
……………………………………………………………………4分
∴ ，
∴ ，即 .…………………………………6分
（Ⅱ）假设在棱0 上存在一点1 ，不妨设
，
则点1 的坐标为 ，……………………………8分
∴
设 是平面 的法向量，则

不妨取 ，则得到平面 的一个法向量 .………10分
又面 的法向量可以是
要使二面角2 的大小等于45°，
则

作业帮用户 2017-11-03

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