已知a+b>0,n∈正整数、且为偶数,证明 b^(n-1)/a^n+a^(n-1)/b^n>=1/a+1/b

Question

已知a+b>0,n∈正整数、且为偶数,证明 b^(n-1)/a^n+a^(n-1)/b^n>=1/a+1/b

Answer 1

用排序不等式做最快
由a+b>0 不妨设a>b 若b为负数 显然|a|>|b| 又n为正偶数
故a^n>b^n
故1/a^nb n-1为奇数 故有b^(n-1)=a^(n-1)/a^n+b^(n-1)/b^n=1/a+1/b=右边
当且仅当a=b时取等号
故不等式成立
背景知识：
排序不等式是高中数学竞赛大纲、新课标 要求的基本不等式.
设有两组数 a 1 ,a 2 ,…… a n,b 1 ,b 2 ,…… b n 满足 a 1 ≤ a 2 ≤……≤ a n,b 1 ≤ b 2 ≤……≤ b n 则有 a 1 b n + a 2 b n+……+ a n b n≤ a 1 b t + a 2 b t +……+ a n b t ≤ a 1 b 1 + a 2 b 2 + a n b n 式中t1,t2,……,tn是1,2,……,n的任意一个排列,当且仅当 a 1 = a 2 =……= a n 或 b 1 = b 2 =……= b n 时成立.
排序不等式常用于与顺序无关的一组数乘积的关系.可以先令a1>=a2>=a3>=...>=an,确定大小关系.
使用时常构造一组数,使其与原数构成乘积关系,适用于分式、乘积式尤其是轮换不等式的证明.
以上排序不等式也可简记为：反序和≤乱序和≤同序和.