如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．（Ⅰ）求证：AF⊥平面CBF；（Ⅱ）求三棱锥C-OEF的体积；（Ⅲ）求二面角的E-BC-F大小．

Question

如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．
（Ⅰ）求证：AF⊥平面CBF；
（Ⅱ）求三棱锥C-OEF的体积；
（Ⅲ）求二面角的E-BC-F大小．

Answer 1

（Ⅰ）∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF=AB，
∴CB⊥平面ABEF，
∵AF⊂平面ABEF，∴AF⊥CB，…（3分）
又∵AB为圆O的直径，∴AF⊥BF，
∵CB∩BF=B，∴AF⊥平面CBF．…（6分）
（Ⅱ）由（I）知CB⊥平面ABEF，即CB⊥OEF，
∴三棱锥C-OEF的高是CB，可得CB=AD=1，…（8分）
连结0E、0F，可知0E=0F=EF=1
∴△OEF为正三角形，∴正△OEF的高等于(√(3))/(2)，…（10分）
∴V_C-OEF=(1)/(3)S_△0EF×CB=(1)/(3)×（(1)/(2)×(√(3))/(2)×1）×1=(√(3))/(12)，…（10分）
（ III）∵CB⊥平面ABEF，BE⊂平面ABEF，BF⊂平面ABEF
∴CB⊥BE且CB⊥BF，可得∠EBF就是二面角E-BC-F的平面角
∵圆O中，∠EBF是圆周角，∠E0F是圆心角，且两个角对同弧
∴∠EBF=(1)/(2)∠E0F=30°
因此，二面角的E-BC-F大小等于30°