正方体ABCD-A'B'C'D'中的棱长为1,P是AD的中点,求二面角A-BD'-P的大小

Question

正方体ABCD-A'B'C'D'中的棱长为1,P是AD的中点,求二面角A-BD'-P的大小

Answer 1

请问你要用空间向量解还是用立体证明解?
我用立体几何证明解给你吧``
你先画好图..然后 过P往AD'作垂线交AD'于H.
∵PH⊥AD' PH在底面ABCD的射影(在AD上)⊥AB 且AD',AB属于面ABD'
∴PH⊥平面ABD'
∴过P往BD'作垂线,交于N点,连接HN 则角HNP即所求二面角A-BD'-P的平面角.
①:求PN
又∵在△D'PB中,因为正方体,易知PD'=BP 且PN⊥BD'
∴PN是BD'的中线且是高(三线合一)
在正方体中易求得
BP=根号(1^2+1/2 ^2)=根号5/2
BD'=根号(1^2+根号2 ^2)=根号3 则BN=根号3/2
∴在Rt△PBN中
PN=BP^2-BN^2=1/2
②:求PH
在△APD'中,利用等面积法,AP×DD'=AD'×PH
∴得PH=根号2/4
③:求NH
∵①中已证N是BD'中点,又NH⊥BA,∴在Rt△HND'中,HN=根号(HD'^2-ND'^2)
PH=根号(AP^2+AQ^2)=根号2/4 (设Q是AA'中点,则PQ⊥AD',画图可以显然看出)
又HD'=根号(PD'^2-PH^2)=3倍根号2/2
得HN=根号15/2
所以利用余弦定理得cos角HNP=(HN^2+PN^2-PH^2)/2HN×PN =根号6/3
求得余弦则可以用反三角arccos角ANP得二面角
如果您有空的话最好自己再检查一下,思路就是过P往平面ABD'作垂线,并往二面的交线BD'作垂线,然后找到二面角的平面角,再通过求出△ANP的各边利用余弦定理求得此角.
中间不知道是否会有计算错的地方,您可以按照此思路做一下,因为我计算经常会出错,我觉得这次计算也不太好,因为电脑前只有一支钢笔,我拿钢笔做的,画图写字都很化水,字都挤在一起看不清楚..
之前不小心弄错了,我把H当成A了,不好意思,现在改过来了..
你按照思路做吧,答案可能是算错了..