如图，在二面角α-AB-β的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB=4，AC=6，BD=8，CD=217，则直线CD与平面α所成角的正弦值为（）A．69734B．35164C

Question

如图，在二面角α-AB-β的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB=4，AC=6，BD=8，CD=2√(17)，则直线CD与平面α所成角的正弦值为（　　）

A．(√(697))/(34)
B．(3√(51))/(64)
C．(√(697))/(64)
D．(3√(51))/(34)

Answer 1

如图，过点C作CE∥AB，过点B作BE∥AC，交CE于点E，
∵在二面角α-AB-β的棱上有A、B两点，
直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，
AB=4，AC=6，BD=8，CD=2√(17)，
∴ABEC是矩形，∴CE=AB=4，BE=AC=6，
∴CE⊥BE，CE⊥BD，∵BD∩BE=B，∴CE⊥平面BDE，
∵DE⊂平面BDE，∴CE⊥DE，
∴DE=√(CD2-CE2)=√(68-16)=2√(13)，
∴∠DBE=(82+62-(2√(13))2)/(2×8×6)=(1)/(2)，
∴∠DBE=60°，∴二面角α-AB-β是60°的二面角，
过点C作CF⊥α，交α于F，连结AF，DF，
由三垂线定理知∠CAF是二面角α-AB-β的平面角，∴∠CAF=60°，
∴CF=6sin60°=3√(3)，
∵CF⊥α，∴∠CDF是直线CD与平面α所成角的平面角，
∴sin∠CDF=(CF)/(CD)=(3√(3))/(2√(17))=(3√(51))/(34)．
故选：D．