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如图,在二面角α-AB-β的棱上有A、B两点,直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB,已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=217,则直线CD与平面α所成角的正弦值为()A.69734B.35164C
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/dbb44aed2e738bd40999d3b6a28b87d6267ff9f9.jpg)
17 |
A.
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34 |
B.
3
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64 |
C.
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64 |
D.
3
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34 |
▼优质解答
答案和解析
如图,过点C作CE∥AB,过点B作BE∥AC,交CE于点E,
∵在二面角α-AB-β的棱上有A、B两点,
直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB,
AB=4,AC=6,BD=8,CD=2
,
∴ABEC是矩形,∴CE=AB=4,BE=AC=6,
∴CE⊥BE,CE⊥BD,∵BD∩BE=B,∴CE⊥平面BDE,
∵DE⊂平面BDE,∴CE⊥DE,
∴DE=
=
=2
,
∴∠DBE=
=
,
∴∠DBE=60°,∴二面角α-AB-β是60°的二面角,
过点C作CF⊥α,交α于F,连结AF,DF,
由三垂线定理知∠CAF是二面角α-AB-β的平面角,∴∠CAF=60°,
∴CF=6sin60°=3
,
∵CF⊥α,∴∠CDF是直线CD与平面α所成角的平面角,
∴sin∠CDF=
=
=
.
故选:D.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/2f738bd4b31c87011d0ed361247f9e2f0608fff9.jpg)
∵在二面角α-AB-β的棱上有A、B两点,
直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB,
AB=4,AC=6,BD=8,CD=2
17 |
∴ABEC是矩形,∴CE=AB=4,BE=AC=6,
∴CE⊥BE,CE⊥BD,∵BD∩BE=B,∴CE⊥平面BDE,
∵DE⊂平面BDE,∴CE⊥DE,
∴DE=
CD2-CE2 |
68-16 |
13 |
∴∠DBE=
82+62-(2
| ||
2×8×6 |
1 |
2 |
∴∠DBE=60°,∴二面角α-AB-β是60°的二面角,
过点C作CF⊥α,交α于F,连结AF,DF,
由三垂线定理知∠CAF是二面角α-AB-β的平面角,∴∠CAF=60°,
∴CF=6sin60°=3
3 |
∵CF⊥α,∴∠CDF是直线CD与平面α所成角的平面角,
∴sin∠CDF=
CF |
CD |
3
| ||
2
|
3
| ||
34 |
故选:D.
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