将半径为4cm的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱（如图示），当圆柱的侧面的面积最大时，圆柱的底面半径是___________cm.

Question

将半径为4cm的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱（如图示），当圆柱的侧面的面积最大时，圆柱的底面半径是___________cm.

Answer 1

半径为4cm的半圆弧长为4π即为圆锥的底面周长,半径即为圆锥的母线长,因此圆锥底面半径R=4π/2π=2cm,母线长为4cm,则圆锥高H=√（4^2-2^2）=2√3.设圆柱高为h,底面半径为r,根据截面三角形相似,易得（R-r)/R=h/H.即（2-r）/2=h/2√3,解得h=√3(2-r)
又圆柱侧面积S=2πrh=2πr*√3(2-r)=-2√3π(r-1)^2+2√3π
所以当圆柱底面半径最大,即r=1cm时,有圆柱侧面积S最大,为2√3π cm.