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已知(sin^2α/sin^2β)+cos^2αcos^2θ=1,求证tan^2α=sin^2θtan^2β
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已知(sin^2α/sin^2β)+cos^2αcos^2θ=1,求证tan^2α=sin^2θtan^2β
▼优质解答
答案和解析
证明:
(sin²α/sin²β)+cos²αcos²θ=1
(sin²α/sin²β)+cos²α(1-sin²θ)=1
(sin²α/sin²β)+cos²α-cos²αsin²θ=1
cos²αsin²θ=(sin²α/sin²β)+cos²α-1
cos²αsin²θ=(sin²α/sin²β)-(1-cos²α)
cos²αsin²θ=(sin²α/sin²β)-sin²α
cos²αsin²θ=sin²α[(1/sin²β)-1]
cos²αsin²θ=sin²α[(1-sin²β)/sin²β]
cos²αsin²θ=sin²α(cos²β/sin²β)
cos²αsin²θ=sin²α•cot²β
两边同时除以cos²α,得:
sin²θ=tan²α•cot²β
即:sin²θ=tan²α/tan²β
即:tan²α=sin²θ•tan²β
(sin²α/sin²β)+cos²αcos²θ=1
(sin²α/sin²β)+cos²α(1-sin²θ)=1
(sin²α/sin²β)+cos²α-cos²αsin²θ=1
cos²αsin²θ=(sin²α/sin²β)+cos²α-1
cos²αsin²θ=(sin²α/sin²β)-(1-cos²α)
cos²αsin²θ=(sin²α/sin²β)-sin²α
cos²αsin²θ=sin²α[(1/sin²β)-1]
cos²αsin²θ=sin²α[(1-sin²β)/sin²β]
cos²αsin²θ=sin²α(cos²β/sin²β)
cos²αsin²θ=sin²α•cot²β
两边同时除以cos²α,得:
sin²θ=tan²α•cot²β
即:sin²θ=tan²α/tan²β
即:tan²α=sin²θ•tan²β
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