x²/m+2+y²/3-m=1设m=2,过点D（0,4）的直线l与曲线C交与M,.N两点,O为坐标原点,若△OMN为直角三角形,求l的斜率

Question

x²/m+2+y²/3-m=1
设m=2,过点D（0,4）的直线l与曲线C交与M,.N两点,O为坐标原点,若△OMN为直角三角形,求l的斜率

Answer 1

C:x^2/4+y^2=1,①
设l:y=kx+4,代入上式得x^2+4(k^2x^2+8kx+16)=4,
整理得(1+4k^2)x^2+32kx+60=0,
△/16=64k^2-15(1+4k^2)=4k^2-15>0,k^2>15/4,
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-32k/(1+4k^2),x1x2=60/(1+4k^2),
△OMN为直角三角形,
1)OM⊥ON,x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+4)(kx2+4)=(1+k^2)x1x2+4k(x1+x2)+16=0,
∴60(1+k^2)-128k^2+16(1+4k^2)=0,
15+15k^2-32k^2+4+16k^2=0,
19=k^2,k=土√19.
2）OM（或ON)⊥MN,M或N在以OD为直径的圆：x^2+（y-2)^2=4②上,
由①,x^2=4-4y^2,③
4-4y^2+y^2-4y+4=4,
3y^2+4y-4=0,y=2/3或-2（舍),
代入③,x^2=20/9,x=土2√5/3,
k=-x/y=干√5.
综上,k=土√19或干√5,为所求.