设a,b,c,d手是质数,且a>3b>6c>12d,a^2-b^2+c^2-d^2=1749.求a^2+b^2+c^2+d^2的所有可能值.

Question

设a,b,c,d手是质数,且a>3b>6c>12d,a^2-b^2+c^2-d^2=1749.求a^2+b^2+c^2+d^2的所有可能值.

Answer 1

a^2-b^2+c^2-d^2=1749
因为a,b,c,d为质数,由上式只,不能全为奇数,故d=2.
故 a^2-b^2+c^2=1753
而 a>3b>6c,则 1753>8b^2+c^2>33c^2
c^2<1753/33=53.12 c<7.29
又 c>2d=4,故 c=5,7
c=5时, a^2-b^2=1728>8b^2
b^2<216 b<14.7
又 b>2c=10. b=11,13
b=11时 a^2=1849 a=43
b=13时 a^2=1897 a=43.33(舍)
c=7时 a^2-b^2=1704>8b^2
b^2<213 b<14.6
又 b>2c=10. b=11,13
b=11时 a^2=1825 a=42.72(舍)
b=13时 a^2=1873 a=43.27(舍)
综上所述 a=43,b=11,c=5,d=2