（1）设l1、l2是两条异面直线，其公垂线段上的单位向量为n又C、D分别是l1、l2上任意一点，求证:||=|·n|；（2）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，求体对角线BD1与

Question

（1）设l ₁ 、l ₂ 是两条异面直线，其公垂线段 上的单位向量为n 又C、D分别是l ₁ 、l ₂ 上任意一点，求证:| |=| ·n|；

（2）已知正方体ABCD-A ₁ B ₁ C ₁ D ₁ 的棱长为a，求体对角线BD ₁ 与面对角线B ₁ C的距离.

Answer 1

解析： （1）∵n= ∴ ·n=( + + )· .

由于CA⊥AB，BD⊥AB，∴ · =0， · =0.

因此| ·n|= ｜ ｜.

（2）如下图所示，先找一个向量n 它既与BD ₁ 垂直，又与B ₁ C垂直，设n= +λ +μDD ₁ ，其中λ μ为待定系数.由n· =（ +λ +μ ）·（ + + ）= · +λ · +μ · =-a ² -λa ² +μa ² =-a ² (1+λ-μ)=0

  

∴1+λ-μ=0.又由n· =（ +λ +μ ）·（ + ）= · +μ · =-a ² -μa ² =0 ∴1+μ=0.

于是解得μ=-1 λ=-2

∴n= -2 - ，|n|=

又BC是连结这两条异面直线BD ₁ 与B ₁ C上的任意点的线段，由第（1）题知所求距离为d=

.