已知二次函数f（x）的二次项系数为负，对任意实数x都有f（2-x）=f（2+x），问当f（1-2x2）与f（1+2x-x2）满足什么条件时才有-2＜x＜0？

Question

已知二次函数f（x）的二次项系数为负，对任意实数x都有f（2-x）=f（2+x），问当f（1-2x²）与f（1+2x-x²）满足什么条件时才有-2＜x＜0？

Answer 1

∵对任意实数x都有f（2-x）=f（2+x），
∴函数的对称轴是直线x=2，
∵f（x）的二次项系数为负，
∴f（x）在（-∞，2]上单增，在（2，+∞）上单调．
又∵1-2x²≤1，1+2x-x²=-（x-1）²+2≤2．
∴需讨论1-2x²与1+2x-x²的大小．
由1+2x-x²-（1-2x²）=x（x+2）知
当x（x+2）＜0，即-2＜x＜0时，1+2x-x²＜1-2x²．
故f（1+2x-x²）＜f（1-2x²）时，有-2＜x＜0．