1题计算y=x^2与x^2=2-y所围成的图形面积2题求微分方程的通解：y'-1/x*y=lnx.3题求函数y=x^4-2x^2+5在区间[-2,2]上的最大值和最小值.4题求大f1（根号下2x+1)/(x+1)*(dx)0

Question

1题 计算y=x^2 与 x^2=2-y所围成的图形面积
2题 求微分方程的通解：
y' - 1/x *y =lnx.
3题 求函数y=x^4 - 2x^2+5 在区间 [-2,2]上的最大值和最小值.
4题 求 大f1 （根号下2x+1) / (x+1) *(dx)
0

Answer 1

1.计算发现,两条曲线交于x = -1,1
S = ∫ [-1,1] dx ∫ [x^2,2-x^2] 1 dy = ∫ [-1,1] (2 - 2x^2) dx = 8/3
2.用一阶线性方程的通解公式：
y ' + p(x) * y = q(x) => y = e^(-∫ p(x) dx) * (C + ∫ q(x) * e^(∫ p(x)dx) dx)
这里的,p(x) = -1/x,q(x) = ln x ,代入计算就能够得到：
y = e^(ln x) * (C + ∫ ln x / x dx) = x * (C + 1/2 * (lnx)^(1/2) )
4.换元令√(2x+1) = t,2x+1 = t^2,x = (t^2-1)/2,dx = t dt .x ∈ (0,1) => t ∈ (1,√3)
原积分 = 2 ∫ [1,√3] t^2 / (1+t^2) dt = 2 ∫ [1,√3] (1 - 1 / (1+t^2)) dt =
2(t - arctan t) [1,√3] = -2+ 2√3 - π/6.