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在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D和点E均在边BC上,且∠DAE=45°,试猜想BD.DE.EC应满足的数量关系,并写出推理过程.
题目详情
在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D和点E均在边BC上,且∠DAE=45°,试猜想BD.DE.EC应满足的数量关系,并写出推理过程.
▼优质解答
答案和解析
BD2+CE2=DE2,
理由是:∵AB=AC,
∴把△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG,可使AB与AC重合,连接EG,
∴AD=AG,BD=CG,∠B=∠ACG,∠BAD=∠CAG,
∵在Rt△BAC中,∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠B=°,
∴∠ECG=∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=45°+45°=90°,
∵∠BAC=90°,∠DAE=45°,
∴∠EAG=∠CAE+∠CAG=∠CAE+∠BAD=90°-45°=45°,
∴∠DAE=∠EAG,
在△DAE和△GAE中,
,
∴△DAE≌△GAE(SAS),
∴DE=EG,
在Rt△ECG中,由勾股定理得:EG2=CE2+CG2,
即BD2+CE2=DE2.
理由是:∵AB=AC,
∴把△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG,可使AB与AC重合,连接EG,
∴AD=AG,BD=CG,∠B=∠ACG,∠BAD=∠CAG,
∵在Rt△BAC中,∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠B=°,
∴∠ECG=∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=45°+45°=90°,
∵∠BAC=90°,∠DAE=45°,
∴∠EAG=∠CAE+∠CAG=∠CAE+∠BAD=90°-45°=45°,
∴∠DAE=∠EAG,
在△DAE和△GAE中,
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∴△DAE≌△GAE(SAS),
∴DE=EG,
在Rt△ECG中,由勾股定理得:EG2=CE2+CG2,
即BD2+CE2=DE2.
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