拿破仑三角形的证明与什么是费马点

Question

拿破仑三角形的证明与什么是费马点

Answer 1

若有一个内角大于等于120度,就是这个顶点.
若没有的话,就是到三边张角均为120度的角.
你可以用尺规在一个边AB外做一个正三角形.找出它的重心（AB边中线距顶点2/3处）.以这点为圆心,过A,B两点做圆,同理作BC,CA边的圆,交点即为费马点.
费马点是指:
设任意一个△ABC,分别以AB,BC,CA为边长
向外做三个正三角形△ABC',△BCA',△CAB'
连接CC'、BB'、AA'
则三线交于一点P,且PA + PB + PC三线段有最小值.
费马点
费马( Pierre de Fermat,1601-1665 )是一位律师和法国政府的公务员,他利用闲暇的时间研究数学,他从未发表他的研究发现,但是他几乎与同时代的所有欧洲的大数学家保持通信.曾经,费马是欧洲所有数学研究进展之交换中心.有一天,他要回答一个收到的问题,要找出三角形里最小点的位置,这个最小点是指这点到三个顶点的距离总和为最短.下面的地图中,如果一家公司要设立办公室(F),让这个办公室到这三个城镇(A,B,C)的距离总和为最短,这个位置就叫做费马点.
三角形的费马点
法国一代英雄拿破仑讲过一句话：“中国,让它睡吧!当它醒来的时候,全世界将要震动.”他本身对数学非常重视,在他夺取法国革命果实称帝后即任命一些优秀数学工作者如蒙日以及拉普拉斯抓好数学教育工作,他曾说：“一个国家只有数学蓬勃发展,才能表现它的国力强大.”
拿破仑是一个数学爱好者,下面是他的一个数学发现：从任意三角形ABC的三边向外作三个正三角形ABC′,A′BC,AB′C,则它们的中心形成一个正三角形.
朋友,如果你曾经画过这个图形,那么你一定会发现:如果三角形ABC的每个内角都小于120度的话,那么连结线段A′A、BB′和CC′,他们恰好交于一点P,点P便是著名的“费马点”.
当然,点P也可以看成是圆ABC′和圆AB′C的交点（如果作圆AB′C的话,恰好也过P点）.
要想获得三角形的费马点,虽然作圆没有连线方便,但是稍有几何基础的朋友就可以看的出来,费马点对三角形ABC三边的视角相等,居然都是120度!
哈哈哈,很直观吧?如果你去祝贺朋友生日,而且恰好是三人一起分蛋糕的话,那么120度的圆心角一定是你不二的选择啦.
费马点可不是用来分蛋糕的.它的价值何在呢?
请看下面问题：
地质勘察队来到一个山区的乡下,这里有三户人家,以往吃水种田都需走下山脚挑水上山,这是很费时费力辛苦的工作.勘察队发现事实上在三家所围成的三角形的土地上,同样的深度都能打出地下水来.
现在人们准备挖一口井,你要怎么样选择开井的地点,使得人们走到井的路程最短,将来架设水管的造价最省呢?
这个问题从数学角度看,显然是要在三角形ABC内找一点P,使其到三个顶点的距离和为最小.
想想看,在现实生活中,类似的例子是不是很多很多?
说明一点,如果三角形ABC的内角中有一个大于或等于120度的话,那么费马点就是该角顶点!