如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在边BC、CD的延长线上，AE与CD的交点为G，且∠EAF=45°．（1）试猜想线段EF、BE、DF有怎样的数量关系？并证明你的猜想；（2）若点E在BC的延长线上

Question

如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在边BC、CD的延长线上，AE与CD的交点为G，且∠EAF=45°．

（1）试猜想线段EF、BE、DF有怎样的数量关系？并证明你的猜想；
（2）若点E在BC的延长线上时△EGF与△EFA相似，求BE的长．

Answer 1

（1）猜想：BE=DF+EF，理由如下：
将△ADF绕着点A按顺时针方向旋转90°，得△ABF′，如图1所示，
由四边形ABCD为正方形可知点B、C、F′在一条直线上，
∵∠BAF′+∠EAF′+∠GAD=90°，∠BAF′=∠DAF，∠EAF=∠GAD+∠DAF=45°，
∴∠EAF′+∠GAD+∠DAF=90°，∠EAF′=∠EAF=45°．
在△EAF和△EAF′中，

AF=AF′

∠EAF=∠EAF′

AE=AE

，
∴△EAF≌△EAF′（SAS），
∴EF=EF′，
∴BE=BF′+EF′=DF+EF．
（2）∵△EGF∽△EFA，
∴∠EFG=∠EAF=45°，
∵∠ECF=90°，
∴CE=CF．
设BE=x（x>1），DF=y，则EF=x-y，
在Rt△ECF中，CE=x-1，CF=1+y，EF=x-y，∠ECF=90°，
∴CE²+CF²=EF²，即（x-1）²+（1+y）²=（x-y）²，
∴y=(x-1)/(x+1)，
又∵CE=CF，即x-1=1+y，
∴x-1=1+(x-1)/(x+1)，化简得：x²-2x-1=0，
解之得：x=1+√(2)或x=1-√(2)（舍去）．
∴BE的长为1+√(2)．