利用构造顶角是36°的等腰三角形的方法求cos72°的值

Question

利用构造顶角是36°的等腰三角形的方法求cos72°的值

Answer 1

做等腰三角形ABC,其中∠A=36°
易得∠B=∠C=72°
过A做AD⊥BC于D,∵∠B=∠C
∴BC = 2BD
cos72°=cos∠B=BD/AB=BC/2AB
过C做∠C的角平分线交AB于E点.
∠ACE=1/2∠C=36°=∠A
∴CE=AE
∵∠BEC是△AEC的外角
∴∠BEC=∠A+∠ACE=72°=∠B
∴CE=BC
∵∠ACE=∠A,∠BEC=∠B
∴△ABC∽△CEB
∴AB : CE = BC : BE
又∵CE=BC, BE= AB - CE
∴CE²= AB(AB-CE)
CE/AB=(根号5-1)/2 —— 黄金分割
∴BC/AB=(根号5-1)/2
cos72°=1/2 * (根号5-1)/2 = (根号5-1)/4