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(1)如图1,四边形ABCD是正方形,点E、点F分别在边AB和AD上,且AE=AF.此时,线段BE、DF的数量关系是,位置关系是.请直接写出结论.(2)如图2,等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针
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(1)如图1,四边形ABCD是正方形,点E、点F分别在边AB和AD上,且AE=AF.此时,线段BE、DF的数量关系是___,位置关系是___.请直接写出结论.
(2)如图2,等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α,当0°<α<90°时,连接BE、DF,此时(1)中的结论是否成立,如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由.
(3)如图3,等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α,当α=90°时,连接BE、DF,若正方形的边长为1,猜想当AE=___时,直线DF垂直平分BE.请写出计算过程.
(4)如图4,等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α,当90°<α<180°时,连接BD、DE、EF、FB得到四边形BDEF,则顺次连接四边形BDEF各边中点所组成的四边形是什么特殊四边形?请直接写出结论:___.
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(2)如图2,等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α,当0°<α<90°时,连接BE、DF,此时(1)中的结论是否成立,如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由.
(3)如图3,等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α,当α=90°时,连接BE、DF,若正方形的边长为1,猜想当AE=___时,直线DF垂直平分BE.请写出计算过程.
(4)如图4,等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α,当90°<α<180°时,连接BD、DE、EF、FB得到四边形BDEF,则顺次连接四边形BDEF各边中点所组成的四边形是什么特殊四边形?请直接写出结论:___.
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▼优质解答
答案和解析
(1)如图1中,
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∵四边形ABCD是正方形,
∴∠DAB=90°,AD=AB,
∵AF=AE,
∴BE=DF,BE⊥DF,
故答案为BE=DF,BE⊥DF
(2)(1)中的结论仍然成立.
理由:如图2中,延长DF交BE于H.
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∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=AB,AF=AE,∠DAB=∠FAE=90°,
在△DAF和△BAE中,
,
∴△DAF≌△BAE,
∴DF=BE,∠ADF=∠ABR,
∵∠AFD=∠BFH,
∴∠DAF=∠BHF=90°,
∴DF⊥BE.
(3)如图3中,连接BD.
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在Rt△ABD中,∵AD=AB=1,
∴BD=
=
,
∵DF垂直平分线段EB,
∴DE=DB=
,
∴AE=DE-AD=
-1,
故答案为
-1.
(4)如图4中,设M、N、G、H分别是BD、DE、EF、BF的中点,连接BE,DF,MN,NG,GH,HM.EB交DF于O,MN交DF于P.
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易证:DF=EB,DF⊥EB,
∵DN=NE,DM=MB,
∴MN∥EB,MN=
EB,同理可证GH∥EB,GH=
EB,MH∥DF,MH=
DF,GN∥DF,GN=
DF,
∴MN=NG=GH=HM,
∴四边形MNGH是菱形,
∵MN∥EB,
∴∠DPM=∠DOB=90°,
∵DF∥MH,
∴∠NMH=∠DPM=90°,
∴四边形MNGH是正方形.
故答案为正方形
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∵四边形ABCD是正方形,
∴∠DAB=90°,AD=AB,
∵AF=AE,
∴BE=DF,BE⊥DF,
故答案为BE=DF,BE⊥DF
(2)(1)中的结论仍然成立.
理由:如图2中,延长DF交BE于H.
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∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=AB,AF=AE,∠DAB=∠FAE=90°,
在△DAF和△BAE中,
|
∴△DAF≌△BAE,
∴DF=BE,∠ADF=∠ABR,
∵∠AFD=∠BFH,
∴∠DAF=∠BHF=90°,
∴DF⊥BE.
(3)如图3中,连接BD.
![作业帮](http://img.zuoyebang.cc/zyb_6c227ec466ee6d5c1da236dfa41f8348.jpg)
在Rt△ABD中,∵AD=AB=1,
∴BD=
12+12 |
2 |
∵DF垂直平分线段EB,
∴DE=DB=
2 |
∴AE=DE-AD=
2 |
故答案为
2 |
(4)如图4中,设M、N、G、H分别是BD、DE、EF、BF的中点,连接BE,DF,MN,NG,GH,HM.EB交DF于O,MN交DF于P.
![作业帮](http://img.zuoyebang.cc/zyb_f25de69d223fce114f6c3a74f4934145.jpg)
易证:DF=EB,DF⊥EB,
∵DN=NE,DM=MB,
∴MN∥EB,MN=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
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1 |
2 |
∴MN=NG=GH=HM,
∴四边形MNGH是菱形,
∵MN∥EB,
∴∠DPM=∠DOB=90°,
∵DF∥MH,
∴∠NMH=∠DPM=90°,
∴四边形MNGH是正方形.
故答案为正方形
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