（1）如图1，四边形ABCD是正方形，点E、点F分别在边AB和AD上，且AE=AF．此时，线段BE、DF的数量关系是，位置关系是．请直接写出结论．（2）如图2，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针

Question

（1）如图1，四边形ABCD是正方形，点E、点F分别在边AB和AD上，且AE=AF．此时，线段BE、DF的数量关系是___，位置关系是___．请直接写出结论．
（2）如图2，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当0°<α<90°时，连接BE、DF，此时（1）中的结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
（3）如图3，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当α=90°时，连接BE、DF，若正方形的边长为1，猜想当AE=___时，直线DF垂直平分BE．请写出计算过程．
（4）如图4，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当90°<α<180°时，连接BD、DE、EF、FB得到四边形BDEF，则顺次连接四边形BDEF各边中点所组成的四边形是什么特殊四边形？请直接写出结论：___．

Answer 1

（1）如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，AD=AB，
∵AF=AE，
∴BE=DF，BE⊥DF，
故答案为BE=DF，BE⊥DF

（2）（1）中的结论仍然成立．
理由：如图2中，延长DF交BE于H．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，AF=AE，∠DAB=∠FAE=90°，
在△DAF和△BAE中，

DA=BA

∠DAF=∠BAE

AF=AE

，
∴△DAF≌△BAE，
∴DF=BE，∠ADF=∠ABR，
∵∠AFD=∠BFH，
∴∠DAF=∠BHF=90°，
∴DF⊥BE．

（3）如图3中，连接BD．

在Rt△ABD中，∵AD=AB=1，
∴BD=√(12+12)=√(2)，
∵DF垂直平分线段EB，
∴DE=DB=√(2)，
∴AE=DE-AD=√(2)-1，
故答案为√(2)-1．

（4）如图4中，设M、N、G、H分别是BD、DE、EF、BF的中点，连接BE，DF，MN，NG，GH，HM．EB交DF于O，MN交DF于P．

易证：DF=EB，DF⊥EB，
∵DN=NE，DM=MB，
∴MN∥EB，MN=(1)/(2)EB，同理可证GH∥EB，GH=(1)/(2)EB，MH∥DF，MH=(1)/(2)DF，GN∥DF，GN=(1)/(2)DF，
∴MN=NG=GH=HM，
∴四边形MNGH是菱形，
∵MN∥EB，
∴∠DPM=∠DOB=90°，
∵DF∥MH，
∴∠NMH=∠DPM=90°，
∴四边形MNGH是正方形．
故答案为正方形