完全平方式的概念是什么?

Question

完全平方式的概念是什么?

Answer 1

对于一个具有若干个简单变元的多项式A,如果存在另一个实系数多项式B,使A=B^2,则称A是完全平方式.
　　【例子】
　　（1）7x^2+4(√21)xy+12y^2是一个完全平方式,因为7x^2+4√(21)xy+12y^2=[(√7)x+(2√3)y]^2；
　　（2）x^4-2x^3-x^2+2x+1是一个完全平方式,因为x^4-2x^3-x^2+2x+1=(x^2-x-1)^2；
　　（3）因为(AB)^2+(AC)^2+(BC)^2+2BCA^2+2CAB^2+2ABC^2=(AB+BC+CA)^2,所以(AB)^2+(AC)^2+(BC)^2+2BCA^2+2CAB^2+2ABC^2是一个完全平方式.
　　【几点注意】
　　（1）以上多项式,指的都是实系数多项式.所以不能称A= -P^2+2PQ-Q^2为完全平方式,因为不存在以P、Q为变元的实系数多项式B,使A=B^2.
　　（2）以上所说多项式,都是简单变元的多项式.我们不能随便称一个代数式或三角函数式为完全平方式.例如
　　①尽管有x^2-2+1/x^2=(x-1/x)^2,但是因为这里x^2-2+1/x^2和x-1/x都不是多项式,所以代数式x^2-2+1/x^2不能被称为完全平方式的.
　　②尽管有e^x+2+e^(-x)=[e^(x/2)+e^(-x/2)]^2,但是e^x+2+e^(-x)不能被称为完全平方式；
　　③尽管有1+sin2x=(cosx+sinx)^2,但是1+sin2x也不能被称为完全平方式.
　　【准完全平方式】
　　〖导言〗
　　如果把①改写为x^2-2(x)(1/x)+(1/x)^2,并将其中的1/x记为y,这里y是一个复合变元.
　　类似地在②中记u=e^(x/2),v=e^(-x/2)；在③中记P=cosx,Q=sinx.那么u、v和P、Q都是复合变元.
　　〖定义〗
　　若对于函数式A,存在关于复合变元u1、u2、……、un的“多项式”B,使A=B^2成立,则称A是“准完全平方式”.(这里u1、u2、……、un不全是简单变元的多项式).
　　〖例子〗
　　按照定义,上述①x^2-2+1/x^2,②e^x+2+e^(-x)和③1+sin2x都被称为“准完全平方式”.
　　这里所以要有“u1、u2、……、un不全是简单变元的多项式”的加注说明,主要为了区别出某些形式上貌似“准完全平方式”,但是本质上却是一个典型的“完全平方式”的情况.
　　例如,当P=x^2-1,Q=x时,虽然有x^4-2x^3-x^2+2x+1=[(x^2-1)^2-2(x^2-1)x+x^2]=(P-Q)^2,在形式上他是一个“准完全平方式”,但是本质上却是前述例(2)中的那个典型的“完全平方式”.
　　【类似概念 完全平方数】
　　若对于整数A,存在整数B,使A=B^2成立,则称A是完全平方数.
　　例如0,1,4,9,16,25,36,……等,都是完全平方数.