设定义在R上的函数，若关于x的方程有5个不同实数解，则实数a的取值范围是A(0，1)B(-∞，-1)C(1，+∞)D(-∞，-2)∪(-2，-1)

Question

设定义在R上的函数，若关于x的方程有5个不同实数解，则实数a的取值范围是

• A

  (0，1)
• B

  (-∞，-1)
• C

  (1，+∞)
• D

  (-∞，-2)∪(-2，-1)

Answer 1

【分析】题中原方程f²(x)+af(x)+b=0有且只有5个不同实数解，即要求对应于f(x)=某个常数有3个不同实数解，故先根据题意作出f(x)的简图，由图可知，只有当f(x)=1时，它有三个根．且当f(x)=k，K>0且k≠1时，关于x的方程f²(x)+af(x)+b=0有5个不同实数解，据此即可求得实数a的取值范围．

∵题中原方程f²(x)+af(x)+b=0有且只有5个不同实数解，
\n∴即要求对应于f(x)等于某个常数有3个不同实数解，
\n∴故先根据题意作出f(x)的简图：

\n由图可知，只有当f(x)=1时，它有三个根．
\n故关于x的方程f²(x)+af(x)+b=0中，
\n有：1+a+b=0，b=-1-a，
\n且当f(x)=k，k>0且k≠1时，关于x的方程f²(x)+af(x)+b=0有5个不同实数解，
\n∴k²+ak-1-a=0，
\na=-1-k，∵k>0且k≠1，
\n∴a∈(-∞，-2)∪(-2，-1)
\n故选D．

【点评】数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．