若对于任意n个连续正整数中，总存在一个数的数字之和是8的倍数．试确定n的最小值．并说明理由．

Question

若对于任意n个连续正整数中，总存在一个数的数字之和是8的倍数．试确定n的最小值．并说明理由．

Answer 1

先证n≤14时，题设的性质不成立．
当N=14时，对于9999993，9999994，…，10000006这14个连续整数，任意一个数的数字之和均不能被8整除．
故n≤14时，题设的性质不成立．
因此，要使题设的性质成立，应有n≥15．
再证n=15时，题设的性质成立．
设a ₁ ，a ₂ ，…，a ₁₅ 为任意的连续15个正整数，则这15个正整数中，个位数字为0的整数最多有两个，最少有一个，可以分为：
（1）当a ₁ ，a ₂ ，…，a ₁₅ 中个位数字为0的整数有两个时，
设a _i ＜a _j ，且a _i 、a _j 的个位数字为0，则满足a _i ，a _i +1，…，a _i +9，a _j 为连续的11个整数，其中a _i ，a _i +1，…，a _i +9，a _j 无进位．
设n _i 表示a _i 各位数字之和，则前10个数各位数字之和分别为n _i ，n _i +1，…，n _i +9．
故这连续的10个数中至少有一个被8整除．
（2）当a ₁ ，a ₂ ，…，a ₁₅ 中个位数字为0的整数有一个时（记为a _i ），
①若整数i满足1≤i≤8时，则在a _i 后面至少有7个连续整数，于是a _i ，a _i +1，…，a _i +7这8个连续整数的个位数字之和也为8个连续整数，所以，必有一个数能被8整除．
②若整数i满足9≤i≤15时，则在a _i 前面至少有8个连续整数，不妨设a _i -8，a _i -7，…，a _i -1这8个连续整数的个位数字之和也为8个连续整数，所以，必有一个数能被8整除．
综上，对于任意15个连续整数中，必有一个数，其各位数字之和是8的倍数．
而小于15个的任意连续整数不成立此性质．
∴n的最小值是15．