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如图,在等边△ABC中,E在BC的延长线上,CF平分∠ACE,P为射线BC上一点,Q为CF上一点,连接AP、PQ.若AP=PQ,求∠APQ是多少度.
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如图,在等边△ABC中,E在BC的延长线上,CF平分∠ACE,P为射线BC上一点,Q为CF上一点,连接AP、PQ.若AP=PQ,求∠APQ是多少度.
▼优质解答
答案和解析
在CF上截取CQ′=BP,
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC=BC,∠B=∠ACB=60°,
∴∠ACE=120°,
∵CF平分∠ACE,
∴∠ACQ=60°=∠B,
在△ABP与△ACQ′中,
∴△ABP≌△ACQ′(SAS),
∴AP=AQ′,∠BAP=∠CAQ′,
∴∠CAQ′+∠PAC=∠BAP+∠PAC=60°
即∠PAQ′=60°,
∴△PAQ′是等边三角形,
∴AP=PQ′,∠APQ′=60°
∵AP=PQ,
∴PQ=PQ′,
∴Q′和Q是同一点,
∴∠APQ=60°.
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC=BC,∠B=∠ACB=60°,
∴∠ACE=120°,
∵CF平分∠ACE,
∴∠ACQ=60°=∠B,
在△ABP与△ACQ′中,
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∴△ABP≌△ACQ′(SAS),
∴AP=AQ′,∠BAP=∠CAQ′,
∴∠CAQ′+∠PAC=∠BAP+∠PAC=60°
即∠PAQ′=60°,
∴△PAQ′是等边三角形,
∴AP=PQ′,∠APQ′=60°
∵AP=PQ,
∴PQ=PQ′,
∴Q′和Q是同一点,
∴∠APQ=60°.
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