（2011•玄武区二模）如图，要在一块形状为直角三角形（∠C为直角）的铁皮上裁出一个半圆形的铁皮，需先在这块铁皮上画出一个半圆，使它的圆心在线段AC上，且与AB、BC都相切．（1）请

Question

（2011•玄武区二模）如图，要在一块形状为直角三角形（∠C为直角）的铁皮上裁出一个半圆形的铁皮，需先在这块铁皮上画出一个半圆，使它的圆心在线段AC上，且与AB、BC都相切．
（1）请你用直尺和圆规作出该半圆；（要求保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）说明你所画的半圆与AB、BC都相切的理由；
（3）若AC=4，BC=3，求半圆的半径．

Answer 1

（1）作∠B的角平分线与AC的交点O，以O为圆心，OC为半径画半圆；

（2）∵∠ACB=90°
∴OC⊥CB且OC=r，
∴BC与半圆O相切
过点O作OD垂直于AB交AB于点D
∵OB平分∠ABC且OD⊥AB，OC⊥BC，
∴OD=OC=r且OD⊥AB
∴AB与半圆O相切

（3）设半圆的半径为r，
∵半圆O与AB相切于点D∴OD⊥AB∴∠ADO=90°
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，
∴AB＝√(AC2+CB2)=√(42+32)＝5
在△ADO和△ACB中
∠ADO=∠ACB∠A=∠A
∴△ADO∽△ACB
∴(AO)/(AB)＝(OD)/(BC)(4−r)/(5)＝(r)/(3)
∴r＝(3)/(2)．
答：半圆的半径为(3)/(2)