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已知:如图,△ABC中,∠C=90°,CM⊥AB于M,AT平分∠BAC交CM于D,交BC于T,过D作DE∥AB交BC于E,求证:CT=BE.
题目详情
已知:如图,△ABC中,∠C=90°,CM⊥AB于M,AT平分∠BAC交CM于D,交BC于T,过D作DE∥AB交BC于E,求证:CT=BE.
▼优质解答
答案和解析
证明:过T作TF⊥AB于F,
∵AT平分∠BAC,∠ACB=90°,
∴CT=TF(角平分线上的点到角两边的距离相等),
∵∠ACB=90°,CM⊥AB,
∴∠ADM+∠DAM=90°,∠ATC+∠CAT=90°,
∵AT平分∠BAC,
∴∠DAM=∠CAT,
∴∠ADM=∠ATC,
∴∠CDT=∠CTD,
∴CD=CT,
又∵CT=TF(已证),
∴CD=TF,
∵CM⊥AB,DE∥AB,
∴∠CDE=90°,∠B=∠DEC,
在△CDE和△TFB中,
,
∴△CDE≌△TFB(AAS),
∴CE=TB,
∴CE-TE=TB-TE,
即CT=BE.
∵AT平分∠BAC,∠ACB=90°,
∴CT=TF(角平分线上的点到角两边的距离相等),
∵∠ACB=90°,CM⊥AB,
∴∠ADM+∠DAM=90°,∠ATC+∠CAT=90°,
∵AT平分∠BAC,
∴∠DAM=∠CAT,
∴∠ADM=∠ATC,
∴∠CDT=∠CTD,
∴CD=CT,
又∵CT=TF(已证),
∴CD=TF,
∵CM⊥AB,DE∥AB,
∴∠CDE=90°,∠B=∠DEC,
在△CDE和△TFB中,
|
∴△CDE≌△TFB(AAS),
∴CE=TB,
∴CE-TE=TB-TE,
即CT=BE.
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