两边靠墙的角落有一个区域，边界线正好是椭圆轨迹的部分，如图所示，现要设计一个长方形花坛，要求其不靠墙的顶点正好落在椭圆的轨迹上．（1）根据所给条件，求出椭圆的标准方程

Question

两边靠墙的角落有一个区域，边界线正好是椭圆轨迹的部分，如图所示，现要设计一个长方形花坛，要求其不靠墙的顶点正好落在椭圆的轨迹上．

（1）根据所给条件，求出椭圆的标准方程；
（2）求长方形面积S与边长x的函数关系式；
（3）求当边长x为多少时，面积S有最大值，并求其最大值．

Answer 1

（1）由题意，椭圆的焦点在x轴上，a=2，b=1，
∴椭圆的标准方程为(x2)/(4)+y2=1；
（2）由椭圆的标准方程，可得y=√(1-(x2)/(4))，
∴S=x•√(1-(x2)/(4))（0<x<2），
（3）设x=2cosα（0<α<(π)/(2)），y=sinα，S=xy=sin2α，
∴α=45°时，面积S有最大值1，此时x=2×(√(2))/(2)=√(2)．