求质量为m、长为L的均匀细棒,对通过棒上离中心为h的一点并与棒垂直的转轴的转动惯量.

Question

求质量为m、长为L的均匀细棒,对通过棒上离中心为h的一点并与棒垂直的转轴的转动惯量.

Answer 1

显然,轴将棒分成长度分别为（0.5*L＋h）和（0.5*L－h）的两段,将这两段对轴的转动惯量相加,即可得到结果.
棒的总质量M.
先对长度为（0.5*L＋h）这段,它对轴的转动惯量是
I1＝∫ r^2 *( M / L ) dr　,r 的积分区间是从0到（0.5*L＋h）
得　I1＝[ M / (3L) ] * r^3
将 r 的积分区间　0到（0.5*L＋h）代入上式,得　I1＝[ M / (3L) ] * ( 0.5*L＋h)^3
同理,对长度为（0.5*L－h）这段,积分过程与上述一样,只要把对应的积分区间改为
从0到（0.5*L－h）,所以得这段棒对轴的转动惯量是 I2＝[ M / (3L) ] * ( 0.5*L－h)^3
那么,整个棒对轴的转动惯量是I＝I1＋I2＝[ M / (3L) ] * [ ( 0.5*L＋h)^3＋( 0.5*L－h)^3 ]
　　利用公式　a^3＋b^3＝(a+b)(a^2-ab+b^2)　,简化上面结果是
I＝M*（12*h^2＋L^2）/ 12