一道数学题,数列的证明：1,根号3,2不能为同一等差数列中的三项.

Question

一道数学题,数列的
证明：1,根号3,2不能为同一等差数列中的三项.

Answer 1

楼上的做法均从有理数和无理数的角度出发,解法大同小异(当然不是在评价其做法的优劣).下面我想从函数与方程的角度利用反证法解答这道问题.
首先,由观察可知,1^2+(√3)^2=2^2.∴可令c=2,a、b分别为1和√3(调换也一样).假设a,b,c能成为等差数列中的三项.（只有下列两种情况）
①当a+b=2c时,与a^2+b^2=c^2联立,用a+b来代换c,整理即有3a^2-2ab+b^2=0,
构造函数f(a)=3a^2-2ab+2b^2,则配方得f(a)=3(a-b/3)^2+(8b^2)/3,
则f(a)大于0恒成立,所以原方程3a^2-2ab+b^2=0无解,因此该情况不成立.(换成f(b)来证明同样有此结论)
②当a+c=2b时,与a^2+b^2=c^2联立,用a+c来代换b,整理即有5a^+2ab+3c^2=0.
构造函数g(c)=5a^2+2ab+3c^2,则配方得g(c)=3(c+a/3)^2+(14c^2)/3,
则g(c)大于0恒成立,所以原方程5a^+2ab+3c^2=0无解,因此该情况也不成立.(换成g(a)来证明同样有此结论)
综上述,原假设不成立,即a,b,c不能成为同一等差数列中的三项,证毕.
解决数列问题有时也能渗透函数的思想,不知道这样做是否更加容易理解一些?不过换成其他的数字（如3k,4k,5k,k不为零）,就不一定适用.可依情况而定.