用比较判别法判断敛散性还有想知道比较判别法怎么找比较级数我都是自己瞎找没头绪1+2/3+2^2/(3*5)+2^3/3*5*7+...+2^(n-1)/[3*5*7*...*(2n-1)]+...∑n^(n-1)/(n+1)^(n+1)∑1/（n*根号(n+1)）

Question

用比较判别法判断敛散性 还有想知道比较判别法怎么找比较级数 我都是自己瞎找 没头绪
1+2/3+2^2/(3*5)+2^3/3*5*7+...+2^(n-1)/[3*5*7*...*(2n-1)]+...
∑n^(n-1)/(n+1)^(n+1)
∑1/（n*根号(n+1)）

Answer 1

使用比较判别法并不能乱找,不仅要熟悉一些基本的敛散性结论,还要根据具体问题适当地放缩
一般来讲你对级数是否收敛要有点感觉,这通过对通项衰减趋势来推测,然后可以有的放矢地进行放大/缩小
第一题利用 2*2/(3/5) < 2*2/(3*3),2*2*2/(3*5*7) < 2*2*2/(3*3*3),...
所以级数可以放大到 sum (2/3)^n
不要事先盲目地去凑(2/3)^n,而是要观察到乘积形式的通项衰减得越来越快,此时再联想到用等比级数来定界
后两题最好是用比较判别法的极限形式,简单一点就是说如果正项级数sum an和sum bn满足lim an/bn=C>0,那么这两个级数的敛散性相同
第二题要看到n^{n-1}/(n+1)^{n+1}~n^{n-1}/n^{n+1}=n^{-2},所以是收敛的
第三题一样,看到1/(n(n+1)^{1/2})~n^{-3/2},也是收敛的
不管是n+1还是n+2,先当成n来看,反正渐进行为上是一致的
当然理论上讲你也一定可以直接用比较判别法
n^{n-1}/(n+1)^{n+1} < n^{-2}
1/(n(n+1)^{1/2}) < n^{-3/2}
甚至如果题目是 sum (n+3)^{n-1}/n^{n+1},此时通项比 1/n^2 大,也可以利用
(n+3)^{n-1}/n^{n+1} < (1+3/n)^{n-1}/n^2 < e^3/n^2
只不过没必要如此细致,掌握极限形式处理这类问题就方便多了
最后,好好看教材,D'alembert判别法,Cauchy判别法等都是基于比较判别法的,把它们的证明充分理解比多做几道习题重要多了