一长木板在水平地面上运动，在t=0时刻将一相对于地面静止的物块轻放到木板上，此后木板运动的速度-时间图象如图所示．已知物块与木板的质量相等，物块与木板间及木板与地面间均有摩

Question

一长木板在水平地面上运动，在t=0时刻将一相对于地面静止的物块轻放到木板上，此后木板运动的速度-时间图象如图所示．已知物块与木板的质量相等，物块与木板间及木板与地面间均有摩擦，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且物块始终在木板上．取重力加速度的大小g=10m/s²求：
（1）物块与木板间的动摩擦因数μ₁以及木板与地面间的动摩擦因数μ₂ 各为多少：
（2）由于地面有摩擦的原因，木板和物块最后都要停下来，但长木板会先停下来，那么从t=0时刻开始，物块和木板各经多长时间停下来？
（3）从t=0时刻到物块与木板均停止运动时，物块相对于木板的位移的大小．

Answer 1

（1）从t=0时开始，木板与物块之间的摩擦力使物块加速，使木板减速，此过程一直持续到物块和木板具有共同速度为止．由图可知，在t₁=0.5 s时，物块和木板的速度相同．设t=0到t=t₁时间间隔内，物块和木板的加速度大小分别为a₁和a₂，则有：
a₁=(V1)/(t1)…①
a₂=(V0−V1)/(t1)…②
式中v₀=5 m/s、v₁=1 m/s分别为木板在t=0、t=t₁时速度的大小．
设物块和木板的质量为m，物块和木板间、木板与地面间的动摩擦因数分别为μ₁、μ₂，
由牛顿第二定律得：
μ₁mg=ma₁…③
（μ₁+2μ₂）mg=ma₂…④
联立①②③④式得：
μ₁=0.20…⑤
μ₂=0.30…⑥
（2）在t₁时刻后，设物块和木板的加速度大小分别a′₁和a′₂，则由牛顿第二定律得
f=ma′₁…⑦
2μ₂mg-f=ma′₂…⑧
假设a′₁=a′₂；由⑤⑥⑦⑧式得f=μ₂mg＞μ₁mg，故不可能一起运动，
即物块和木板之间为滑动摩擦力
f=μ₁mg=2m…⑨
（3）由⑦⑨式知，物块加速度的大小a′₁等于a₁；物块的v-t图象如图中点划线所示．
由运动学公式可推知，物块和木板相对于地面的运动距离分别为
s₁=2×(V21)/(2a1)…⑩
s₂=(V0+V1)/(2)t₁+(V21)/(2a2′)
物块相对于木板的位移的大小为：
s=s₂-s₁　
联立①⑤⑥⑧⑨⑩式得：
s=1.125 m．
答：（1）物块与木板间、木板与地面间的动摩擦因数分别为0.20，0.30；
（2）从t=0时刻到0.5秒内，物块相对于木板的位移的大小为1.25m．
（3）从开始到最终停止，木块相对运动板的位移为1.125m．